ÁNGULOS INTERNOS Y EXTERNOS DE POLÍGONOS

En esta entrada aprenderemos sobre ángulos de polígonos; distinguiremos sus ángulos internos y externos; los mediremos; construiremos conjeturas acerca de la suma ambos tipos de ángulos, relacionaremos la suma de los ángulos internos y externos de los polígonos con su número de lados y, finalmente, realizaremos ejercicios del cálculo de ángulos faltantes en polígonos..

ÁNGULOS INTERNOS Y EXTERNOS DE POLÍGONOS

Llamares ángulos internos de un polígono a aquellos ángulos que se forman en el interior del polígono debido a la intersección de dos de sus lados. El polígono siguiente posee los ángulos A, B, C, D y E.

Imagen 1

Aprovechando la imagen 1 contesta las siguientes preguntas:

• ¿Cuántos lados tiene? 
• ¿Cuántos ángulos posee?
• ¿Cómo se llama el polígono? 
• ¿Es un polígono regular o irregular? 
• ¿Es un polígono cóncavo o convexo?

Sin realizar mediciones o cálculos escritos, ¿Cuánto mide cada uno de sus ángulos?

Los ángulos externos de un polígono se forman en el exterior del polígono entre la prolongación de un lado del polígono y el otro lado adyacente a éste. La imagen siguiente muestra los ángulos externos de un polígono:

Imagen 2

Dibuja dos polígonos, en uno de ellos muestra sus ángulos internos y en el otro sus ángulos externos.

SUMA DE ÁNGULOS INTERNOS Y EXTERNOS DE POLÍGONOS

En esta parte debes medir los ángulos internos de los polígonos que se te proporcionan en el archivo que debes imprimir, para medir los ángulos emplea correctamente el transportador, señalando en cada polígono el valor de sus ángulos.

Descarga aquí archivo con los polígonos a los que debes medir sus ángulos internos, las imágenes siguientes sólo muestran el contenido del archivo.

TRIÁNGULOS

CUADRILÁTEROS

PENTÁGONOS

HEXÁGONOS

Suma los ángulos internos de cada polígono y concentra los resultados en una tabla como la siguiente (redondea la suma a un al número entero más cercano):

CONJETURAS RESPECTO A LA SUMA DE LOS ÁNGULOS INTERNOS DE LOS POLÍGONOS

Con base en los resultados de la tabla 1, compara las sumas de cada tipo de polígono y establece una conjetura respecto a la suma de los ángulos internos de cada tipo de polígono. En matemáticas una conjetura es una afirmación que se supone cierta pero que no ha sido comprobada o refutada hasta la fecha. Limitemos esta definición a que no ha sido comprobada o rechazada por ti.

Completa los enunciados de tus conjeturas anotando en la línea el valor de la suma de los ángulos de cada tipo de polígono

“La suma de los ángulos internos de cualquier triángulo es igual a __________”

“La suma de los ángulos internos de un cualquier cuadrilátero es igual a _______”

“La suma de los ángulos internos de un cualquier pentágono es igual a ________”

“La suma de los ángulos internos de un cualquier hexágono es igual a _________”

Comprueba estas conjeturas construyendo un polígono de cada tipo, midiendo sus ángulos internos y sumándolos. ¿Resultaron ciertas las conjeturas?

Con base en las conjeturas anteriores escribe una conjetura que relacione la suma de los ángulos internos de un polígono y su número de lados:

___________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

Construye una expresión matemática que relacione el número de lados de un polígono con la suma de sus ángulos internos, considera la literal N como la variable que indica el número de lados del polígono y la literal S como la variable que indica la suma de los ángulos internos del polígono. 

S = ?

ÁNGULOS EXTERNOS DE UN POLÍGONO

Repite para los ángulos externos de polígonos todo lo que se ha hecho hasta aquí para los ángulos internos. Responde las preguntas, realiza las mediciones, llena tablas, establece conjeturas y construye la fórmula para el cálculo de la suma de los ángulos externos.

CÁLCULO DE ÁNGULOS INTERNOS FALTANTES EN POLÍGONOS

Sabiendo lo que vale la suma de los ángulos internos de los diferentes tipos de polígonos, determinaremos el valor de ángulos faltantes:

Ejemplo 1.

Para el triángulo de la imagen siguiente determinar el ángulo interno faltante

EJERCICIOS

Con los conocimientos previos y los aprendizajes adquiridas realiza los siguientes ejercicios:

Ejercicio 1

Determinar el valor del ángulo interno faltante en un polígono del cuál se conocen los ángulos internos restantes, siendo estos ángulos internos de 60^o, 70^o y 100^o. ¿Como se llama a este tipo de polígono? ¿Es el polígono en cuestión un polígono regular o irregular? ¿Es un polígono cóncavo o convexo?

Ejercicio 2

Se han medido dos de los ángulos internos de un triángulo obteniéndose los siguientes valores: 60^o y 80^o. ¿Cuánto mide el ángulo interno faltante?

Ejercicio 3

Cuando se estaban midiendo los ángulos internos de un polígono se quebró en varias partes el transportador que se estaba utilizando, los ángulos internos que se alcanzaron a medir fueron de 84^o, 106 ^o, 78 ^o y 83 ^o. Si sólo faltó medir un ángulo interno, calcula su valor. ¿Es el polígono en cuestión un polígono regular o irregular? ¿Es un polígono cóncavo o convexo?

Ejercicio 4

Si uno de los ángulos internos de un triángulo rectángulo mide 40^o, ¿Cuánto miden los demás ángulos internos?

Ejercicio 5

¿Cuánto mide el ángulo interno faltante de un hexágono cuyos otros otros ángulos internos miden 106^o,  150 ^o,  96 ^o,  112^o y 140 ^o?  ¿Es el polígono en cuestión un polígono regular o irregular? ¿Es un polígono cóncavo o convexo?

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